Funkcje różniczkowalne Funkcje wektorowe Pochodna funkcji

Pochodna funkcji w przedziale. Różniczkowalność funkcji. Pochodna funkcji wektorowej

Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie możemy rozszerzyć na przedział i mówić o pochodnej funkcji w przedziale. Z pochodną funkcji wiąże się również pojęcie różniczkowalności funkcji.

Definicja 1: Pochodna funkcji w przedziale

Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym \( (a,b) \) , gdzie \( -\infty\leq a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.

Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną w przedziale domkniętym \( [a,b] \) , gdzie \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym \( (a,b) \) i pochodną prawostronną w \( a \) i pochodną lewostronną w \( b \).

Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną w przedziale \( (a,b] \) , gdzie \( -\infty\leq a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym \( (a,b) \) i pochodną lewostronną w \( b \).

Mówimy, że funkcja \( f \) ma pochodną w przedziale \( [a,b) \) , gdzie \( -\infty\lt a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym \( (a,b) \) i pochodną prawostronną w \( a \).

Definiuje się również następujące pojęcia:

Definicja 2: Funkcja pochodna

Funkcję określoną w przedziale \( I \), której wartości są równe \( f^{\prime}(x) \) dla każdego \( x\in I \), nazywamy funkcją pochodną funkcji \( f \) w przedziale \( I \) lub pochodną funkcji \( f \) w przedziale \( I \) i oznaczamy ją przez \( f^{\prime} \) lub \( \frac{df}{dx} \).

Definicja 3: Funkcja różniczkowalna

Funkcję mającą pochodną (właściwą) w każdym punkcie przedziału nazywamy funkcją różniczkowalną w tym przedziale.

Przyglądnijmy się teraz klasie funkcji różniczkowalnych - sformułujemy dwa twierdzenia opisujące własności funkcji różniczkowalnych.

Twierdzenie 1: o ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie \( x_0 \), to jest ciągła w punkcie \( x_0 \).

Uwaga 1:

Implikacja w przeciwnym kierunku nie jest prawdziwa, czyli nie każda funkcja ciągła musi być różniczkowalna. Świadczy o tym przykład funkcji ciągłej \( f(x)=|x-3| \), która nie posiada pochodnej w \( x=3 \). Zbiór funkcji różniczkowalnych jest zatem podzbiorem funkcji ciągłych i jest to podzbiór właściwy.

Twierdzenie 2: o pochodnej funkcji elementarnej

Jeżeli pochodna funkcji elementarnej istnieje, to jest ona funkcją elementarną.

Uwaga 2:

Funkcja elementarna to funkcja, którą można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji. Zatem funkcję elementarną możemy zapisać za pomocą jednego wzoru wykorzystując tylko podstawowe funkcje elementarne.

mówi, że pochodną takiej funkcji zawsze możemy zapisać jednym wzorem. Jest to istotna wiadomość i nie jest to własność oczywista - np. całka nieoznaczona (będąca operacją odwrotną do pochodnej) nie ma tej własności.

Zdefiniujmy również pochodną funkcji wektorowej.

Definicja 4: Pochodna funkcji wektorowej

Niech \( \vec v:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}^2 \) o przepisie \( \vec v(t)=(x(t),y(t)) \) będzie funkcją wektorową.

Pochodną funkcji wektorowej \( \vec v \) określamy wzorem

\( \vec v\,^{\prime}(t)=(x^{\prime}(t),y^{\prime}(t)). \)

Uwaga 3:

Analogicznie określamy pochodną funkcji wektorowej \( \vec v:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}^3 \) o przepisie \( \vec v(t)=(x(t),y(t), z(t)) \):

\( \vec v\,^{\prime}(t)=(x^{\prime}(t),y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)). \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka